初中几何：手拉手模型最值问题 -凯发官方入口

初中几何：手拉手模型最值问题

一、什么是手拉手模型

两个形状相同的图形，共用同一个顶点，即可看作“手拉手模型”。

常见的手拉手模型包括等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、正方形中的手拉手模型。

具体手拉手模型的相关结论，请点击后面链接查看：https://www.yc8.com.cn/wenzhang/202305/2830.html

“手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转。对于这一类动点最值问题可从以下两个方面去思考：一、动态点确定动态三角形，静态点确定静态三角形，实现化动为静，寻找动态过程中不变的量，进而发现特殊的边角关系，巧妙的构造手拉手模型，将动态的变量转化静态的变量，再得利用两点之间线段最短、垂线段最短、三角形两边之和大于第三边等知识来解决其最值问题。

二、手拉手模型最值问题

1.如图1是边长分别为a和b(a>b)的两个等边三角形纸片abc和cde叠放在一起的图形。

操作：若将图1中的△cde绕点c按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接ad，be，如图2或如图3。

思考：在图2和图3中，线段be与ad之间有怎样的大小关系，并说明理由.

猜想与发现：根据上面的操作和思考过程，请你猜想：当α为 度时，线段ad的长度最大；当α为某个角度时，线段ad的长度最小，最小是 。

【解析及结论】

（i）当旋转角α=0°时，此时ad最小且ad=a-b

（ii）当旋转角α＜60°时，两个黄色三角形全等

（证明关键：∠acb-∠ace=∠dce-∠ace或∠ebc ∠ace=∠ace ∠dca=60°）

（iii）当旋转角α=60°时，两个黄色三角形全等（证明关键：∠ecb=∠dca=60°）

（iv）当旋转角60°＜α＜180°时，两个黄色三角形全等

（证明关键：∠acb ∠eca=∠dce ∠eca）

（v）当旋转角α=180°时，此时ad最大且ad=a b

（vi）当旋转角180°＜α＜300°时，两个黄色三角形全等

（证明关键：∠acb ∠bcd=∠dce ∠bcd）

（vii）当旋转角α=300°时，两个黄色三角形全等（证明关键：∠bce=∠acd=60°）

（viii）当旋转角300°＜α＜360°时，两个黄色三角形全等

（证明关键：∠acb-∠dcb=∠dce-∠dcb）

（ix）当旋转角α=360°时，此时ad最小且ad=a-b

最终结论：

2.已知，在x轴上一定点a(4,0)，b点为y轴上的动点，以ab为边作等边△abc，如下图.求oc的最小值.

【解析】

解法一：通过瓜豆原理寻找轨迹：

此题点b为主动点，点c为从动点，根据瓜豆原理（即种瓜得瓜，种豆得豆）可知从动点c的运动轨迹为直线，如图（2）其中△abc为b、c分别在y轴上时的等边三角形，根据垂线段最短，可知当oc⊥cc时，oc最短再由∠acb=∠acb=60°，得∠ccb=60°（可以用b、c、c、a四点共圆，也可以用四边形bcca中两次三角形相似可得此结果）.即△occ∽△aoc. ∴ao:co=ac:oc=2:1. 又∵ao=4(已知)，∴co最小值为2.

具体瓜豆原理可以查看后面链接：https://www.yc8.com.cn/wenzhang/202210/1068.html

解法二：通过构造“手拉手模型“解决

此题中，点b为动点，点a为定点，即oa为定长。根据动找规律，静下结论的原则，如图（3），以oa为边作等边△oda.这样就把静态等边△oda和动态的等边△bca构成了“手拉手模型”，其中，点a为公共点。由“手拉手模型”易证△oca≌△dba.即oc=bd.因为点d为定点，根据垂线段最短可知，当db垂直于y轴时最短，此时 所以co最小值为2.

针对上述的变种题：

（2019常熟市二模）已知x轴上一点a（1，0），b为y轴上的一动点，连接ab，以ab为边作等边△abc如图所示，已知点c随着点b的运动形成的图形是一条直线，连接oc，则ac oc的最小值是______．

【解析】

作等边△aod，构造出△bao≌△cad，从而得到∠adc＝∠aob＝90°，找到点c的运动轨迹为直线cd，延长ad交y轴于点a’，利用已知条件可证明直线cd就是线段aa‘的中垂线，从而ac oc＝a'c oc.

又∵点c在直线cd上运动，所以点o、c、a'三点共线时，a'c oc的值最小，最小值为oa'的长．在r△aoa'中，∠aoa'＝90°，∠oad＝60°，oa＝1，oa＝√3oa＝√3，∴ac oc的最小值为√3．故答案为√3．

3.已知，等边△abc边长为4, 点d是ac边上一动点，连接bd，以bd为斜边，作等腰rt△bpd.如下图，连接ap.求ap的最小值.

解析：点d为动点. 等腰rt△bpd为动态三角形，△abc为静态三角形，所以一边ab为腰，在同一侧作等腰rt△baq. 如上图，其中∠baq为直角.ab=aq.这样就构造了动态的等腰rt△bpd和静态的rt△baq以点b为公共点的手拉手模型，便可迎刃而解。

解：在△bqd和△bap中

针对上述的变种题：

（2019东城区二模）如图，△abc为等边三角形，点p是线段ac上一动点（点p不与a，c重合），连接bp，过点a作直线bp的垂线段，垂足为点d，将线段ad绕点a逆时针旋转60°得到线段ae，连接de，ce．

（1）求证：bd＝ce；

（2）延长ed交bc于点f，求证：f为bc的中点；

（3）在（2）的条件下，若△abc的边长为1，直接写出ef的最大值．

【解析】

（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得∠dab＝∠cae，ab＝ac，ad＝ae，即可证△adb≌△aec，可得bd＝ce；

（2）过点c作cg∥bp，交ef的延长线于点g，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得cg＝bd，∠bdg＝∠g，∠bfd＝∠gfc，可证△bfd≌△cfg，可得结论；

（3）由题意可证点a，点f，点c，点e四点在以ac为直径的圆上，由直径是圆的最大弦可得ef的最大值．

如图，连接af，∵△abc是等边三角形，bf＝fc，∴af⊥bc

∴∠afc＝90°，∴∠afc＝∠aec＝90°

∴点a，点f，点c，点e四点在以ac为直径的圆上，

∴ef最大为直径，即最大值为1

4.