初中几何模型-瓜豆模型
若两动点到某定点的距离比是定值,夹角是定角,则两动点的运动路径相同。
瓜豆原理是主从联动轨迹问题。主动点叫做瓜,从动点叫做豆,瓜在直线上运动,豆的运动轨迹也是直线。瓜在圆周上运动,豆的运动轨迹也是圆。
关键是作出从动点的运动轨迹,根据主动点的特殊位置点,作出从动点的特殊点,从而连成轨迹.
一、运动轨迹-线段
1.如图，p是直线bc上一动点，连接ap，取ap中点q，当点p在bc上运动时，q点轨迹是？
【解析】 分别过a、q向bc作垂线，垂足分别为m、n，在运动过程中，因为ap=2aq，所以qn始终为am的一半，即q点到bc的距离是定值，故q点轨迹是一条直线．
所以：当p点轨迹是直线时，q点轨迹也是一条直线．
2.如图，△apq是等腰直角三角形，∠paq=90°且ap=aq，当点p在直线bc上运动时，求q点轨迹？
【解析】当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的q点的位置，连线即可，比如q点的起始位置和终点位置，连接即得q点轨迹线段．
当ap与aq夹角固定且ap:aq为定值的话，p、q轨迹是同一种图形
【模型总结】
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠paq是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（ap:aq是定值）．
3.如图，在等边△abc中，ab=10，bd=4，be=2，点p从点e出发沿ea方向运动，连结pd，以pd为边，在pd的右侧按如图所示的方式作等边△dpf，当点p从点e运动到点a时，点f运动的路径长是________；点f到点a的最短距离是________。
【解析】根据△dpf是等边三角形，所以可知f点运动路径长与p点相同，p从e点运动到a点路径长为8，故此题答案为8．
f点运动路径长与p点相同，所以f点运动轨迹也是线段，取两个特殊点确定出轨迹易得af最小为：3倍根号3
二、运动轨迹-圆
1.如图，p是圆o上一个动点，a为定点，连接ap，q为ap中点．
考虑：当点p在圆o上运动时，q点轨迹是什么样的呢？
【解析】可以通过观察动图可知点q的轨迹是一个圆，而此圆与圆o有什么关系呢？
因为q点始终为ap中点，连接ao，取ao中点m，qm是三角形apq的中位线，半径mq是op一半，则m点即为q点轨迹圆圆心。任意时刻，均有qm:po=aq:ap=1:2．
【小结】确定q点轨迹圆，确定其圆心与半径，
由q为ap中点可得：am=1/2ao，qm=1/2pq．
q点轨迹相当于是p点轨迹成比例缩放．
根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；
根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．
2.如图，p是圆o上一个动点，a为定点，连接ap，作aq⊥ap且aq=ap．
考虑：当点p在圆o上运动时，q点轨迹是？
【解析】将ap绕点a逆时针旋转90°得aq，旋转不会改变图形的大小和形状，所以q点运动轨迹与p点轨迹是一样的，都是圆．然后来确定该圆心与半径．
易得：△apo≌△aqm．
所以圆心就是点o绕点a逆时针旋转90°得到的点m；
半径等于圆o的半径
3.如图，△apq是直角三角形，∠paq=90°且ap=2aq，当p在圆o运动时，q点轨迹是？
【解析】方法同例2，将△apq绕点a逆时针旋转90°，且将比例缩小，放缩前后比为2：1.
则△apo∽△aqm，且相似比为2．
所以圆心就是点ao绕点a逆时针旋转90°且取原长的一半得到的点m；
半径等于圆o的半径的一半
【模型总结】
为了便于区分动点p、q，可称点p为“主动点”，点q为“从动点”．
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠paq是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（ap:aq是定值）．
【结论】
（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠paq=∠oam；
（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：ap:aq=ao:am，也等于两圆半径之比．
按以上两点即可确定从动点轨迹圆，q与p的关系相当于旋转 伸缩．
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．
4.如图，p是圆o上一个动点，a为定点，连接ap，以ap为一边作等边△apq．
考虑：当点p在圆o上运动时，q点轨迹是？
【解析】q点满足（1）∠paq=60°；（2）ap=aq，故q点轨迹是个圆：
∠paq=60°，可得q点轨迹圆圆心m满足∠mao=60°；
ap=aq，可得q点轨迹圆圆心m满足am=ao，且可得半径mq=po．
△apo≌△aqm，即可确定圆m位置和大小
【小结】可以理解aq由ap旋转得来，故圆m亦由圆o旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于ap与aq的位置和数量关系．
5.如图，p是圆o上一个动点，a为定点，连接ap，以ap为斜边作等腰直角△apq．
考虑：当点p在圆o上运动时，如何作出q点轨迹？
【解析】q点满足（1）∠paq=45°；（2）ap:aq=根号2：1，故q点轨迹是个圆．
连接ao，构造∠oam=45°且ao:am=根号2：1．m点即为q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△aop∽△amq．即可确定点q的轨迹圆．
【思考】如图，点p（3,4），圆p半径为2，a（2.8,0），b（5.6,0），点m是圆p上的动点，点c是mb的中点，则ac的最小值是_______．
三、运动轨迹-其它
1.如图所示，ab=4，ac=2，以bc为底边向上构造等腰直角三角形bcd，连接ad并延长至点p，使ad=pd，则pb的取值范围为___________．
【解析】固定ab不变，ac=2，则c点轨迹是以a为圆心，2为半径的圆，以bc为斜边作等腰直角三角形bcd，则d点轨迹是以点m为圆心、根号2为半径的圆
考虑到ap=2ad，故p点轨迹是以n为圆心，2倍根号2为半径的圆，即可求出pb的取值范围．
【总结】掌握“瓜豆原理”的关键，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性。
根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹圆，从而求出动点轨迹圆心和半径。而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹也相应的会是其他图形．
扫描二维码推送至手机访问。
特别声明：
本站属于公益性网站，纯粹个人原因（陪孩子学习便于查询和教授），网站部分内容收集于网络，仅供学生和老师参考、交流使用，请勿用作其他商业收费用途。
如果网站内容能给你带来提升，那便是我经营此网站的初衷。网站相关内容如有问题，请及时提出，我在此谢谢！
本站尊重原创并对原创者的文章表示肯定和感谢，如有侵权请联系删除！针对本站原创内容，本站也欢迎转载，如需转载请注明出处。
