初中数学：几何“十字架”模型解析
“十字架模型”是数学平面几何中比较重要的一个模型。常见的类型有正方形中的十字架和矩形中的十字架。
在矩形或正方形中，具有“两条互相垂直的线段（四个端点分别在四条边上）”是这类题目的关键条件，我们称之为“内十字架”模型.
一、正方形中的“十字架”模型
我们先从正方形了解什么是“十字架”模型，见下图：
图一：
正方形中bd、ad垂直，be、af也垂直
那么bd和ad、be和af是否相等？
结论是相等的。
可以通过全等来证明。
那么我们可以得出下面结论：
在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段①若垂直，则相等.②若相等，则垂直.
二、矩形中的“十字架”模型
图二：
我们可以得出很多相似三角形，这边我们就不一一讲述。
那么我们可以得出下面结论：
在矩形十字架模型中，若在矩形对边上分别取点并相连，所得两条线段若垂直，则十字架之比与矩形邻边“成比例”
比如图二：ac/cd=ef/cb
具体结论如下:
三、三角形中的“十字架”模型
通过延长构造平行四边形（三角形），然后利用相似、全等进行求解。具体见下面几个案例。
案例1：
三种解题思路：
第一种思路，作ag∥bc与ce延长线交于点g，构造相似，借助垂直导角，利用正切或相似求出ag即可。此种解法不用设未知数，计算更简便，求ae与be的比，然后按比例分配即可。
第二种思路，作bg∥ac与ce延长线交于点g，构造相似，借助垂直导角，利用正切或相似求出ag即可。同样不用设未知数，计算更简便。此种思路其实跟第一种方法几乎一样。
第三种思路：作dg⊥ab，构造△bgd和△bfe相似，或利用余弦值相等求解即可。这种就是爆算，技巧性不强，但对于解题也是万能，至少考试做对就给分。
案例2：
方法一：平行四边形 共圆
分别作ad、de的平行线交于点f，
则adef为平行四边形，∠fec=∠dae=60°，
而ad=ec，ad=ef得ef=ec，故∠ecf=30°
故∠hcf=90°，
而af||de，故∠baf=90°，
得a、f、c、h共圆，∠afh=∠ach=60°，
故ah=af，af=de，故ah=√(3)de
方法二：相似三角形
作dg、ai、ej垂直于bc于点g、i、j
作ef⊥dg于点f
易知△ahi~△edf
而ef=gj=bc-bg-jc=bc-(1/2)bd-(1/2)ec
=bc-(1/2)（bd ec）=bc-(1/2)（bd ad）=(1/2)bc，
而ai=√(3)bi=(√(3)/2)bc，即有ai=√(3)ef
故ah=√(3)de
我们常见的“十字架”题型较多，归根到底就是通过构造全等或者相似三角形来进行求解。
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