初中数学：几何“12345”模型
“12345”模型是是经典的几何模型之一
“12345”模型指的是正切值分别为1/2和1/3的两个角的和为45度。具体如下：
上面条件，只要其中2个条件成立，另一个条件也成立。
一、常规结论
图一：“12345”模型结论一
二、延生结论
图二：“12345”模型结论二（2倍角:3：4：5的直角三角形）
从上图可以看出3：4：5的直角三角形的两个锐角的1/2的正切值分别为1/2和1/3
同时，可以得出下面结论：
1.若tan2a=3/4，则tana等于1/3。
2.若tan2a=4/3，则tana等于1/2。
3.若tana＝2，tanb＝3，则∠a ∠b＝135。
三、具体应用
1.网格应用
如图所示的网格是正方形网格，则∠pab ∠pba=___°．（点a、b、p是网格线交点）
答案：45度
2.半角模型衍生
半角模型可以查看：
【2018湖北中考第9题】
如图，正方形abcd中，ab=6，g是bc的中点，将△abg沿ag对折至△afg，延长gf交dc于点e，则de长是（ ）
具体解析如下：
连接ae，通过半角模型，可得α β=45，tan∠bag=1/2，满足“12345”模型
所以tanβ=1/3，答案为2
半角模型具体结论内容可以查看后面链接：
3.与直角坐标系结合
【2019盐城中考第16题】
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点a、b，将直线ab绕点b顺时针旋转45°，交x轴于点c，则直线bc的函数表达式是_______________．
具体解析如下：
求解一次函数解析式可以查看后面链接：
通过一次函数y=2x-1，可知tan∠bao=2，那么tan∠abo=1/2
∠abo ∠ocb=180-90-45=45度
所以：tan∠bco=1/3
那么根据斜截式：点(0,-1)、斜率1/3
得出直线bc的函数解析式为：y=1/3x-1
4.与直角坐标系结合
【2017浙江丽水第16题】
如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x m分别交x轴、y轴于a、b两点，已知点c（2,0），点p为线段ob的中点，连接pa、pc，若∠cpa=∠abo，则m的值是__________．
具体解析如下：
直线y=-x m，可知∠oba=∠oab=45度，ob=oa
∠cpa=∠abo=45度
∠opc ∠oap=45度
tan∠oap=1/2
那么tan∠opc=1/3
oc=2
那么op=6，ob=12
所以m=12
5.2倍角应用
【2016甘肃天水第16题】
如图，把矩形纸片oabc放入平面直角坐标系中，使oa、oc分别落在x轴、y轴上，连接ob，将纸片oabc沿ob折叠，使点a落在点a’位置，ob为根号5，tan∠boc=1/2，则点a’的坐标为____________．
具体解析如下：
由对折可知∠ab0=∠a'b0
由ob为根号5，tan∠boc=1/2，可知tan∠ab0=1/2,ab=2,ao=1
由双倍角可知tan∠a'ba=4/3，实际上a'b、a'h、bh为5:4:3关系
可以求出a'h长，bh长
那么点a’的坐标还不容易求出来吗？
6.2倍角应用
【2017宜宾中考第7题】
如图，在矩形abcd中，bc=8，cd=6，将△abe沿be折叠，使点a恰好落在对角线bd上f处，则de的长是（ ）
具体解析如下：
通过bc=8，cd=6，可知bd=10，那么ab:ad:bd=3：4：5，符合2倍角模型，
将△abe沿be折叠，构造了1倍角模型，tan∠abd=4/3，那么tan∠abe=1/2,ae=3，de=5
更多，可以点击下面链接查看12345模型具体案例：
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