初中数学：逆等线几何模型问题分析
一、模型定义
如下图，等腰三角形abc中，e，f分别是ab，ac上的点，且ae=cf，连结ef，称ef为等腰三角形abc的逆等线。
由于ae与cf没有首尾相连，所以一般通过平移、构造全等三角形等方法转移线段，使它们产生联系。
二、逆等线最值分析
如上图，固定的△abc中，d、e分别是ab、ac上的动点，且ad=ce，求be cd的最小值。
通过构造全等三角形，△cef≌△adc，使d、e双动点转化成单动点，be cd转化成be ef，最小值就是定点b、f间的距离。
具体题目中会给出一些特殊角度，便于计算bf的长度。
逆等线几何模型最常见的是等边三角形，等腰三角形，直角三角形。
三、具体案例
1.在rt△abc中，∠bac=90°，ab=ac，e，f分别是腰ab，ac上的点，且ae=cf，adl ef，求证：ef=ad.
思路1：
过f作fg//ab如图3，过f作fg∥ab，且使fg=ea，连接ag、cg，显然四边形aefg为平行四边形.由题意知gf=
ae=cf，∠acg=∠abd=45°，又因为∠bad=
∠cag，所以△abd△acg（aas），于是得ad=ag=ef，故命题成立.
思路2：过e作eg//ac.
如图4，过e作eg∥ac，且使ge=ae，连接ag、bg，则△ebg≌△afe（sas），所以bg=fe，∠ebg
=∠afe=∠bad，于是gb//ad.又因为∠gab=
∠abd=45°，所以ag//bd，从而得四边形agbd是平行四边形，得ad=bg=ef，故命题成立.
本题证明还很多，这里不再提供了。
2.
主要步骤：过c作平行ab，作fc=ac，从而等到全等，即cd=ef，在三角形efb中，e、f、b共线就能够得到最短路径，这样的思路不可谓不妙。
3.
在直角三角形中一样用这个思路，并不需要特别的过b作平行，得到∠a=∠fcb'，本身题目给出ae=bf，sas部分就差另外一组领边，截取bc‘=ac，褐色和粉色全等。
三角形cfc'中，cf fc'≥cc'，只有共线下才能有最短，矩形可以得到cc'=ab
4.
含有60°的菱形，构建角度是解决这题的关键，利用相等的线段bf=df，∠abf=30°，过d作da'⊥cd,得到∠a'de=30°，截取a'd=ab，得到粉色和褐色全等。
四、思考题
1.
2.
3.如图△abc，ab=ac，∠bac=90°，e、f分别在ab、ac上，且ae=cf，ad⊥ef交bc于d，求证ef=ad。
把ea平移到fg，连接cg、ag，则四边形aefg是平行四边形，ag=ef。△fcg是等腰直角三角形，∠acg=45°。
因为∠cag=∠bad，ab=ac，∠acg=45°=∠b，所以△acg≌△abd(asa)，ag=ad，所以ef=ad。
4.等边△abc的边长是6，e、f是ab、ac边上的动点，且ae=cf，求ef的最小值。
利用条件ae=cf，构造△cdf≌afe。
如图，过c作cd∥ab，且cd=af，则∠dcf=∠fae，△cdf≌△afe(sas)，所以df=ef。
易知四边形bcde是平行四边形，所以de=bc=6。
ef df=2ef≥de，当efd三点共线时取等号(此时ef∥bc)。所以ef的最小值是3。
5.如图△abc，∠abc=60°，点d、e分别在bc、ac上，且ae=cd，若ab=4，ac=5，求ad be的最小值。
利用ae=cd，构造△aef≌cda，把ad转移到ef，则与be相连。
过点a作af∥bc，且af=ad。则∠eaf=∠c，所以△aef≌△cda(sas)，所以af=ac=5。
转化成be ef的最小值，且b、f都是定点，be ef≥bf
接下来求出bf即可。延长fa，过b作bg⊥fa于点g，则∠abg=30°，ag=2，gf=7，bg=2√3。
bf²=bg² gf²=12 49=61，所以bf=√61，即ad be的最小值是√61。
6.如图△abc，∠bac=90°，点d、e是bc边上的动点，且bd=ce，若bc=5，求ad ae的最小值。
利用bd=ce，构造△bdf≌cea，把ae转移到df，则与ad相连。
过b作bf∥ac，bf=ac，则∠dbf∠c，所以△bdf≌△cea(sas)，所以bf=ac，df=ae。
ad ae=ad df≥af。
接下来求出af即可。易知△abf≌△bac(sas)，所以af=bc=5，即ad ae的最小值是5。
7.如图，矩形abcd，ab=3，ad=4，点e、f分别是线段ac、bc上的动点，且ae=cf，求de df的最小值。
利用ae=cf，构造△age≌cdf，把df转移到eg，则与de相连。
过点a作ag⊥ac，且ag=cd。则△age≌△cdf(sas)，所以ag=cd=3。
转化成de eg的最小值，且g是定点，de eg≥dg
接下来求出dg即可。延长da，过g作gh⊥da于点h，则△gah∽△acd(一线三垂直)，ac=5，容易求出ah=9/5，gh=12/5，所以dh=29/5，直角△dhg中根据勾股定理求出dg=√985 / 5。
8.如图，矩形abcd，ab=2，ad=1，g是ab中点，e、f分别是ad、cd边上的动点，且cf=2ae，求gf 2be的最小值。
此题给的是线段的2倍关系，不能构造全等，但是可以构造相似。
利用cf=2ae，构造△chf∽△abe，把2be转移到fh，则与gf相连。
延长bc至h，使ch=2ab，则△chf∽△abe，所以fh=2be。
gf 2be≥gh。
接下来求出gh即可。gb=1，bh=bc ch=1 4=5，根据勾股定理可得gh=√26。
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