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初中数学：几何-倍长中线模型

一、模型分类

【模型1】倍长

1.倍长中线；

条件：ad为△abc的中线，延长ad至点e,使de=ad,

结论：△abd≅△edc.

2.倍长类中线；

条件：△abc中，d为bc边的中点，e为ab边上一点（不同于端点），连接ed并延长，使df=de,连接cf,

结论：△fcd≅△ebd.

3.中点遇平行延长相交

条件：ab∥cd,e为ac的中点，f为ab边上一点（不同于端点），连接fe并延长，交dc的延长线于点g,

结论：△afe≅△cge,

【模型2】遇多个中点，构造中位线

1.直接连接中点；

2.连对角线取中点再相连

二、典型案例分析

例1.如图，ad是△abc的边bc上的中线，ab=4,ac=8,则中线ad的取值范围是_________.

分析：倍长中线，将已知边和倍长后的边转化为同一三角形中，运用三边关系求范围.

解答：

如图，延长ad到点e,使ad=de,连接ce.

∵点d是bc的中点，

∴bd=dc.

在△adb和△edc中，

ad=de;∠adb=∠edc;bd=dc.

∴adb≅△edc(sas),

∴ce=ab=4,

∴ac-ce=8-4=4,

ac ce=12,

根据三角形的三边关系，得4

∵ae=2ad,

∴2

小结：

1.三角形的三边关系是求线段范围的常用方法.

2.出现中线时，常考虑倍长中线构造全等三角形，实现线段的转化.

例2.如图，已知d为△abc的边bc的中点，de⊥df,则be cf(       )

a.大于ef          b.小于ef

c.等于ef          d.与ef的大小关系无法确定

分析：倍长中线ed,构造全等三角形，将be,cf和ef转移到同一个三角形中.

解：延长ed到g,使dg=ed,连接cg,fg.由bd=cd,∠bde=∠cdg,可得△bed≅△cgd,∴cg=be,∵de⊥df,dg=ed,∴ef=fg.在△fcg中，cf cg>fg,∴be cf>ef,

答案为a.

小结：

1.出现中点时，常考虑倍长与中点相关的线段，构造全等三角形.

2.出现垂直关系时，常考虑倍长直角边，构造等腰三角形.

例3.如图，已知在△abc中，ad是bc边上的中线，e是ad上一点，连接be并延长交ac于点f,af=ef.

求证：ac=be.

证明：

方法一：倍长中线

如图，延长ad到点g,使dg=ad,连接bg.

在△adc和△gdb中，

ad=dg,∠adc=∠gdb,dc=db,

∴△adc≅△gdb.(sas)

∴∠cad=∠g,bg=ac.

∵af=ef,

∴∠aef=∠cad.

∴∠aef=∠g.

∵∠beg=∠aef,

∴∠beg=∠g.

∴be=bg.

∴ac=be.

方法二：倍长类中线

如图，延长ad到点g,使dg=ed,连接cg.

在△bde和△cdg中，

de=dg,∠edb=∠gdc,bd=cd,

∴△bde≅△cdg.(sas)

∴∠bed=∠g,be=gc.

∵∠bed=∠aef,

∴∠aef=∠g.

∴∠aef=∠g.

∵af=ef,

∴∠aef=∠cad.

∴∠g=∠cad.

∴ac=cg.

∴ac=be.

三、课后练习

1.如图，在△abc中，ab=12,ac=20,求bc边上中线ad的范围.

2.

3.如图，已知d为线段bc的中点，ab=ce.

求证：∠a=∠ced.

4.如图，已知在△abc中，ad是bc边上的中线，e是ad上一点，且be=ac,延长be交ac于点f.

求证：af=ef.

5.如图1，已知ab∥cd,ab=cd,∠a=∠d.

(1)求证：四边形abcd为矩形。

(2)e是ab边的中点，f为ad边上一点，∠dfc=2∠bce.

①如图2，若f为ad中点，df=1.6,求cf的长度；

②如图2，若ce=4,cf=5,则af bc=______,af=________.