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英才学习-阿江1年前 (2023-05-23)1365

初中数学:隐圆最值问题

在中考数学中,有一类高频率考题,明明图形中没有出现“圆”,但是解题中必须用到“圆”的知识点,像这样的题我们称之为“隐圆模型”。


在考察“隐圆”的时候,题目当中往往会在“隐圆”的基础之上去考察各种最值问题,如:线段最值、周长最值、面积最值、角的最值等。

根据圆的定义,在解决几何问题中,只要观察出几个点到同一个定点的距离相等,这里就常常隐藏一个圆就是"隐圆"。


首先让我们了解下最值问题,主要用到以下几个几何性质:

1.三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;

2.两点间线段最短;

3.连结直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短;

4.定圆中的所有弦中,直径最长。


“隐圆”主要涉及如下几类最值问题:


一、圆外(内)一点与圆上一点距离最值

1.p为圆o外一定点,则点p与圆心o距离为定值,那么p点与圆上各点的连接线段中,最小值为下图1中pa,最大值为下图2中pa.


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2.p为圆o内一定点,则点p与圆上各点的连接线段中,最小值为下图1中pa,最大值为下图2中pa.


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3.p为圆上一定点,其到圆上其它各点的连接线段中,最大值为直径,最小值为0.


二、定点定长模型


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1.ao=bo=co=do

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2.若ab=ac=ad,则b、c、d三点是以a点为圆心、ab长为半径的圆上。


三、定弦定角模型


1.同弧(同弦)所对圆周角相等

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2.定弦对定角(锐角)

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3.定弦对定角(钝角)

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4.“定角对定高模型”——线段最值;


在三角形中,如果这个三角形的一个角确定,由这个角的顶点向对边引的垂线即高也确定,则此时这个角的顶点所对应的变有最小值。

如下图,直线bc外一点a,a到直线bc距离ad为定值(定高),∠bac为定角。则bc有最小值。

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通过连接bo,bc=2bh,bh=bo*sin∠boh,bc=2*bo*sin∠boh要想bc最小,那么就是半径要最小。

简证:oa oh≥ad,

∵四边形oedh为矩形,∴oh=ed,

在rt△aoe中,ao>ae,∴ao oh=ao ed>ae ed=ad


定角定高.gif


定角定高模型:构成等腰三角形(ac=bc)时:

(1)ab线段长度最小;(2)△abc面积最小;(3)△abc周长最小。


5.“定角对定边模型”——面积最值

在三角形中,如果这个三角形的一个角确定,由这个角的顶点向对边引的垂线即高也确定,则此时这个三角形面积会存在最小值。

如下图,直线bc外一点a,a到直线bc距离ad为定值(定高),∠bac为定角。则bc有最小值。δabc的面积由bc决定,bc有最小值,所以δabc的面积有最小值。像探照灯一样所以也叫探照灯模型。这就是“隐形圆”中重要的定角定高模型,定角定高模型主要解决面积最小问题。

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定角定高问题常应用于求此三角形底边长的最小值,继而求三角形面积的最小值,问题的关键就在作这个动三角形的外接圆,根据“半径 弦心距定高”求出半径的最小值,那底边存在最小值,面积存在最小值。由于底边的长在变化,此外接圆“隐形圆”的大小也会发生变化,但是在运动过程中于找到“隐形圆”半径最小值,找到此处为突破口,建立数学模型,综合性问题就迎刃而解。

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那么,如图确定△abc面积的最小值呢?

首先我们连接oa,ob,oc。过o点作oh⊥bc于h点.(如上图)

显然oa oh≥ad,当且仅当a,o,d三点共线时取“=”。由于∠bac的大小是一个定值,而且它是圆o的圆周角,因此它所对的圆心角∠aob的度数,也是一个定值。

因此oh和圆o的半径,有一个固定关系,所以,oa oh 也和⊙o的半径,有一个固定的等量关系。再根据我们刚才说的,oa oh≥ad,就可以求得圆o半径的最小值。

简证:oa oh≥ad,

∵四边形oedh为矩形,∴oh=ed,

在rt△aoe中,ao>ae,∴ao oh=ao ed>ae ed=ad


6.“定角对定边模型”——周长最值

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四、直角圆周角模型

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直角所对的是直径

五、四点共圆模型


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对角互补


六、隐形圆结合瓜豆原理

瓜豆原理是主从联动轨迹问题。主动点叫做瓜,从动点叫做豆,瓜在直线上运动,豆的运动轨迹也是直线。瓜在圆周上运动,豆的运动轨迹也是圆。

瓜豆原理具体可以查看后面链接:https://www.yc8.com.cn/wenzhang/202210/1068.html


下面我们仅从瓜豆原理分析动点运动轨迹

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七、“米勒”最大张角问题

米勒最大张角问题相关问题可以查看后面链接:


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