初中几何:圆的相关定理 -凯发官方入口

初中几何:圆的相关定理

1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论

1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所

3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

推论

1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

2：圆的两条平行弦所夹的弧相等

4、切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。

5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。

6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。

7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。

8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。

9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径

推论

1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

13、定理：把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

14、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

16、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

18、(d是圆心距，r、r是半径)

①两圆外离d>r r

②两圆外切d=r r

③两圆相交r-r

④两圆内切d=r-r(r>r)

⑤两圆内含dr)

2关于圆形的公式

周长:c=2πr (r半径)

面积:s=πr²

半圆周长:c=πr 2r

半圆面积:s=πr²/2

以下定理，部分非初中知识：

1、相交弦定理

相交弦定理：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。

即如图：pa*pb=pc*pd

2、切割线定理(割线定理是它的推论）

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即如图：若pt为切线，则pt^2=pc*pd

3、蝴蝶定理

蝴蝶定理：设m为圆内弦pq的中点，过m作弦ab和cd。设ad和bc各相交pq于点x和y，则m是xy的中点。

即如图：若m为pq中点，则mx=my

注：（坎迪定理是蝴蝶定理的推论，即：若m为线段pq上任何一点，则1/my-1/mx=1/mq-1/mp）

4、西姆松定理

西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）

即如图：若pf⊥ab，pd⊥bc,pe⊥ac，则f、d、e三点共线

（注：其逆定理同样成立，即：

若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。）

5、鸡爪定理

鸡爪定理：i为△abc的内心，j为∠a内的旁心，ai的延长线交三角形外接圆于k，则ki=kj=kb=kc。

6、托勒密定理

托勒密定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

即如左图：ab*cd ad*bc=ac*bd

abcd为圆内接四边形，则ac×bd=ab×cd ad×bc

推论：任意四边形abcd，有ac×bd≤ab×cd ad×bc

7、切线长定理

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

即如图：若ab、ac切圆o于b、c，则ab=ac。

8、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

即如图，直径dc⊥ab，则ae=eb，弧ad等于弧bd（包括优弧与劣弧）。

9、弦切角定理

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数。

即如图，∠abc=∠amb。

（注：弦切角是指顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。）

10、公切线定理

（注：公切线是同时相切于两条或两条以上的曲线的直线。和两个圆同时相切的直线叫做这两个圆的公切线。如果两个圆在公切线的同侧，则这公切线叫做这两个圆的外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则这条直线叫做这两个圆的内公切线。）

公切线定理（1）

外公切线的长=根号下（圆心距的平方-（（大圆半径减小圆半径）的平方））

公切线定理（2）

内公切线的长=根号下（圆心距的平方-（（大圆半径加小圆半径）的平方））

公切线定理（3）

外公切线与连心线夹角的正弦值=圆心距/（大圆半径减小圆半径）

公切线定理（4）

内公切线与连心线夹角的正弦值=圆心距/（大圆半径加小圆半径）