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英才学习-阿江1年前 (2023-06-19)1903

初中几何:圆心角、圆周角、圆切角、弦切角

一、圆心角

一条弦的两点和圆心相连,组成一个等腰三角形,我们把圆心所在的角叫做这条弦的圆心角。

而如果这条弦和圆上另一点相连,组成的角就叫这条弦的圆周角。

根据角的定义,我们知道圆心角就等于弧的弧度,即弧度制。

因为对应的弧相等,所以在同圆或等圆中,相等的圆心角所对应的弦也相等,弦心距同样相等。

反过来,在同圆或等圆中,相等的弧对应相等的圆心角,所以相等的弦或者弦心距,都对应相等的圆心角。

直径对应的圆心角可以看作是平角π。


相关定理:

在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。


二、圆周角

顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

这一定义实质上反映的是圆周角所具备的两个特征:①顶点在圆上,②两边都和圆相交。这两个条件缺一不可。


圆心角性质:

在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距也相等。

在同圆或等圆中,圆心角、圆心角所对的弦、圆心角所对的弧和对应弦的弦心距,四对量中只要有一对相等,其他三对就一定相等。 


圆心角和圆周角关系:

一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半,圆周角是顶点在圆周上的角,圆心角是顶点在圆心上的角。

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半,同弧或等弧所对的圆周角相等。


圆周角和圆心角的性质和定理:

在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两个圆周角,两组弧,两条弦,两条弦心距中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(圆周角与圆心角在弦的同侧)。


相关定理:

圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半,同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2:圆周角度数定理:圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

推论3:同圆或等圆中,圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。

推论4:同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等圆周角所对的弧也相等。

推论5:直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;

根据推论,当条件中出现圆周角时,可将其转换到过直径的圆周角,再构造直角三角形去解决线段或角的数量关系。


弦和弧是相互对应的,所以也可以说是这条弧的圆心角和圆周角。

一条弧的度数等于它所对的圆心角的度数。 

一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半,即圆周角定理。

半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。


三、圆切角

圆的任意两条切线之间的夹角叫做圆切角,取值范围[0,π)


两条平行线间夹角为零,称为零角,无顶点;

平行于两条平行线的直线经过其夹角顶点,(与零角两边平行的直线经过其顶点),即所有平行线在无限远处相交于一点;

在两个角的边发生交错前的部分画上一条封闭曲线,使其与各边有唯一交点,则相邻两点所对应这两个圆切角的边为相邻两边,相隔两点所对应这两个角的边为相隔两边。


四、弦切角

弦切角定义:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角,图中的∠abc就是弦切角。

弦切角定理: 弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数。


弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

推论1:弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。

推论2:两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等。

推论3:弦切角等于它所夹的弧的度数的一半。

弦切角.jpg

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