高中数学：原函数与其导函数奇偶性、对称性、周期性关系
一、奇偶性
结论一
若可导函数f(x)为奇函数，则其导函数f’(x)为偶函数。
证明：
∵f(x)为奇函数，
则有f(-x)=-f(x)
将上式两边同时求导可得：
(-x) ’f’(-x)=- f’(x) (复合函数求导法则)
整理得：- f’(-x)=-f’(x)
即f’(x)= f’(-x)
可知f(x)的导函数f’(x)为偶函数
若可导函数f(x)的导函数f’(x)为偶函数，则函数f(x)不一定为奇函数。
证明如下：
证明：
∵f’(x)为偶函数，
则有f’(x)= f’(-x)
将上式两边同时积分可得：
∫f’(x)dx=∫f’(-x)dx
即f(x) c1=-f(-x) c2 (c1和c2为常数)
由上式可知：只有当c1=c2时，f(x)才为奇函数。
结论二
若可导函数f(x)为偶函数，则其导函数f’(x)为奇函数。
证明：
∵f(x)为偶函数，
则有f(x)=f(-x)
将上式两边同时求导可得：
f’(x)=-f’(-x)
可知f(x)的导函数f’(x)为奇函数
备注：若可导函数f(x)的导函数f’(x)为奇函数，则函数f(x)不一定为偶函数(证明略)
例题：若f(x)=a∙sin(x π/4) b∙sin(x-π/4)为偶函数，则求a，b的关系
解：
∵f(x)为偶函数
∴f’(x)为奇函数，则有f’(0)=0
又f’(x)= a∙cos(x π/4) b∙cos(x-π/4)，
则f’(0)= a∙cos(π/4) b∙cos(-π/4)=0
可得a，b的关系为：a b=0
二、对称性
结论三
若可导函数f(x)的图像关于点(m，n)对称，则其导函数f’(x)的图像关于x=m对称。
证明：
已知f(x)的图像关于(m，n)对称，可得：
f(x) f(2m-x)=2n
整理得：
f(x)=-f(2m-x) 2n，等式两边同时求导得：
f’(x)= f’(2m-x)
∴f(x)的导函数f’(x)关于x=m这条直线对称
结论四
若可导函数f(x)的图像关于x=m对称，则其导函数f’(x)的图像关于(m，0)对称。
证明：
已知f(x)关于x=m对称
∴f(x)=f(2m-x)
等式两边同时求导得：
f’(x)=-f’(2m-x)
∴f’(x)的图像关于(m，0)对称
结论五
若可导函数f(x)的导函数f’(x)的图像关于x=m对称，则f(x)的图像关于(x0，[f(x0) f(2m-x0)]/2)对称，其中x0为定义域内任意值。
证明：
已知f’(x)关于x=m对称
∴f’(x)= f’(2m-x)
将上式两边同时积分可得：
∫f’(x)dx=∫f’(2m-x)dx
f(x) c1=-f(2m-x) c2
即f(x) f(2m-x)=c2-c1
令x=x0 (x0为定义域内任意值)
则由上式可知c2-c1= f(x0) f(2m-x0)
即：f(x) f(2m-x)= f(x0) f(2m-x0)
∴f(x)的图像关于(m，[f(x0) f(2m-x0)]/2)对称
备注：当f(x)在x=m处有意义时，可以将上式的x0用m来替代，则有f(x)的图像关于(m，f(m))对称。
若f’(x)关于点x=a对称，则f(x)关于点(a,f(a))对称
特殊情况：f’(x)为偶函数，则过原点的f(x)奇函数
例题：求f(x)=x3-6x2 2x 6的对称中心
解：
f’(x)=3x2-12x 2
可知f’(x)的对称轴为：x=2
且f(x)在x=2处有意义，
则f(x)的对称中心为(2，f(2))，即(2，-6)
结论六
若可导函数f(x)的导函数f’(x)的图像关于(m，0)对称，且在定义域内存在一点x0，使得f(x0)=f(2m-x0)，则f(x)的图像关于x=m对称。
证明：
已知f’ (x)关于(m，0)对称
∴f’ (x)=- f’ (2m-x)
将上式两边同时积分可得：
∫f’(x)dx=∫-f’(2m-x)dx
f(x) c1=f(2m-x) c2
令x=x0，
整理可得：c2-c1=f(x0)-f(2m-x0)
又已知f(x0)=f(2m-x0)
∴c2-c1=0
∴ f(x)=f(2m-x)
∴ f(x)关于x=m对称
备注：若可导函数f(x)的导函数f’(x)的图像关于(m，n)对称，不能推出f(x)的图像关于x=m对称(可自行证明)
若f’(x)关于点(a,b)对称，
若b=0,则f(x)关于x=a对称
若b≠0,则f(x)不关于x=a对称
特殊情况：奇函数的原函数为偶函数
三、周期性
结论七
若f(x) 的周期为t,则f’(x)的周期也为t。
证：由f(x) 的周期为t，得f(x)=f(x t)，两边关于x求导得 f’(x)=f’(x t)
结论七
若f’(x)的周期为t，且存在x0使得f(x0)=f(x0 t)，则f(x)的周期也为t。
证：由f’(x)的周期为t，得f’(x)=f’(x t)， 即[f(x)-f(x t)]’=0 ，所以f(x)-f(x t)=c（c为常数）。特别地，存在 x0使得f(x0)=f(x0 t) 时，c=0 ，则f(x)=f(x t)。
函数的相关性质可以查看下面链接：
https://www.yc8.com.cn/wenzhang/202405/4259.html
例题：【2022新高考1卷12(多选)】
已知函数f(x)及其导函数f’(x)的定义域均为r，记g(x)=f’(x)，若f(3/2-2x)，g(2 x) 均为偶函数，则：
a.f(0)=0 b.g(-1/2)=0 c.f(-1)=f(4) d.g(-1)=g(2)
解析：
由f(3/2-2x)为偶函数得f(3/2-2x)=f(3/2 2x)，故f(x)关于x=3/2对称，选项c 正确.
知g(x)关于(3/2,0)对称；由g(2 x)为偶函数知g(x)关于x=2对称.综上，g(x)关于(3/2,0) 和x=2对称，则2 为其周期， g(-1/2)=g(-1/2 2)=g(3/2)=0 选项b正确；
g(-1)=g(-1 2)=g(1) ，g(2)=g(3-1)=-g(1) ,最后这步用到g(x)关于 (3/2,0) 对称，选项d错误;
对于f(x)只能确定其对称轴，无法确定其对称中心，事实上，若f(x)满足题设，则f(x) c也满足，故a错.
另解：构造满足题设的函数g(x)=cos(πx)，则f(x)=1/π.sin(πx) c .
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