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英才学习-阿江8个月前 (02-18)函数414

高中数学:指数函数和对数函数

一、指数和对数

(一)指数

指数是幂运算aⁿ(a≠0)中的一个参数,a为底数,n为指数,指数位于底数的右上角,幂运算表示指数个底数相乘。当n是一个正整数,aⁿ表示n个a连乘。当n=0时,aⁿ=1。


指数的运算法则:

1、am×an=a(m+n) 【同底数幂相乘,底数不变,指数相加】

2、am÷an=a(m-n) 【同底数幂相除,底数不变,指数相减】

3、(am)n=a(mn) 【幂的乘方,底数不变,指数相乘】

4、(ab)m=am×am 【积的乘方,等于各个因式分别乘方,再把所得的幂相乘】


(二)对数

如果a的x次方等于n(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底n的对数(logarithm),记作x=logan。其中,a叫做对数的底数,n叫做真数。

1.特别地,以10为底的对数叫做常用对数(common logarithm),并记为lgn。

2.称以无理数e(e=2.71828…)为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并记为lnn。

3.零没有对数。

4.在实数范围内,负数无对数。 [3]在虚数范围内,负数是有对数的。


对数的运算法则:

1、loga(m·n)=logam logan

2、loga (m÷n)=logam-logan

3、logamn=nlogam

4、logab*logba=1

5、logab=logcb÷logca


(三)指数和对数互换

一般的转换方法是同时取指数或对数。

a=lnb,转换成指数形式,可以两边同取e的指数,得ea=elnb=b。

ea=b,转换成对数形式,可以两边同取对数,得lnea=a=lnb

aⁿ=b(a>0,且a≠1),n=logab(a>0,a≠1)。


二、指数函数和对数函数

在数学领域中,指数函数和对数函数作为两类重要的数学函数,扮演了不可忽视的角色。

指数函数以自然常数e为底,展现出指数增长或衰减的趋势;而对数函数是指数函数的反函数,将指数关系转化为线性关系。


1.指数函数

(1)指数函数的定义

一般地,函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数,函数的定义域是 r 。

注意,在指数函数的定义表达式中,在ax前的系数必须是数1,自变量x必须在指数的位置上,且不能是x的其他表达式,否则,就不是指数函数。

(2)指数函数的图象


111111.jpg



底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.

(3)指数函数的性质

①定义域:r.

②值域:(0,+∞).

③过点(0,1),即x=0时,y=1.

④当a>1时,在r上是增函数;当0<a<1时,在r上是减函数.

当a>1时,随着x的增大,指数函数迅速增大,呈现指数增长的趋势。

当0


在函数中可以看到:

(1) 指数函数的定义域为r,这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不连续,因此我们不予考虑,同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

(2) 指数函数的值域为(0, ∞)。

(3) 函数图形都是上凹的。

(4) a>1时,则指数函数单调递增;若0

(5) 可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(不等于0)函数的曲线从分别接近于y轴与x轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于y轴的正半轴与x轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于x轴,并且永不相交。

(7) 函数总是通过(0,1)这点,(若y=ax b ,则函数定过点(0,1 b))

(8) 指数函数无界。

(9)指数函数是非奇非偶函数

(10)指数函数具有反函数,其反函数是对数函数。


2. 对数函数

(1)对数函数的定义

函数y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数.

(2)对数函数的图象

底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.

(3)对数函数的性质:

①定义域:(0, ∞).

②值域:r.

③过点(1,0),即当x=1时,y=0.

④当a>1时,在(0, ∞)上是增函数;当0<a<1时,在(0, ∞)上是减函数.


定义域求解:对数函数y=logax 的定义域是{x丨x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,

如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0 ,得到x>1/2且x≠1,即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}

值域:实数集r,显然对数函数无界;

定点:对数函数的函数图像恒过定点(1,0);

单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数;0

奇偶性:非奇非偶函数

周期性:不是周期函数

对称性:无

最值:无

零点:x=1

注意:负数和0没有对数。

两句经典话:

底真同对数正,底真异对数负。

解释如下:

也就是说:若y=logab (其中a>0,a≠1,b>0)

当0ab >0;

当a>1, b>1时,y=logab >0;

当01时,y=logab <0;

当a>1, 0ab <0。



指数对数函数.png

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