初中数学：四点共圆
一、定义
若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
二、四点共圆性质
四点共圆有三个性质：
1.共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；
2.圆内接四边形的对角互补；
3.圆内接四边形的外角等于内对角。
圆内接四边形的性质定理： 圆内接四边形的对角互补。
推论： 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。
四点共圆判定定理： 如果一个四边形的内对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
推论： 如果四边形的一个外角等于其内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
三、四点共圆如何判断
1.若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。如图，平面内有四个点a、b、c、d，若存在一点o，使得oa=ob=oc=od，则a、b、c、d四点在以点o为圆心、oa长为半径的圆上。
2.若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆。
圆的内接四边形的性质之一，圆的内接四边形对角互补，反之也成立。如图，在四边形abcd中，若∠a ∠c=180°，则a、b、c、d四点在一个圆上.
这两种方法是用来判断“四点共圆”用得较多的方法。
3.若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。
这也是圆的内接四边形的性质之一，可以借助圆的内接四边形对角互补进行证明。如图，在四边形abcd中，若∠bae为其外角，且∠bae=∠c，则a、b、c、d四点在一个圆上.
4.若两个点在一条线段的同侧，并且和这条线段的两端的连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆。
利用的为同弧所对的圆周角相等，如图，在四边形abcd中，连接对角线ac，bd，若∠bac=∠bdc，则a、b、c、d四点在一个圆上.
5.若ab、cd两线段相交于p点，且pa×pc=pb×pd，则a、b、c、d四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
6.若ab、cd两线段延长后相交于p。且pa×pb=pc×pd，则a、b、c、d四点共圆(割线定理)。
7.若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理)。
如上图：在四边形abcd中，若a、b、c、d四点共圆，则ac·bd=ab·cd ad·bc。
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