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英才学习-阿江7个月前 (03-18)函数434

三次函数的性质


形如f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0)的函数,被称为“三次函数”,则它的性质如下:

定义域:x∈r

值域:y∈r


三次函数的值域求解,可以借助极限的思想,根据函数的表达式可知,影响其值域范围的主要是“ax3”这一项,因此可得:

当a>0时,x趋近于 ∞,则f(x)趋近于 ∞;x趋近于-∞,则f(x)趋近于-∞。

当a<0时,x趋近于 ∞,则f(x)趋近于-∞;x趋近于-∞,则f(x)趋近于 ∞。

又因为f(x)是连续的函数,且x∈r,所以f(x)的值域为r。

备注:由于三次函数的值域为r,则它的函数图像与x轴至少有一个交点,换句话说三次方程至少有一个根。


一、图像和单调性

f(x)=ax3 bx2 cx d, (a≠0)

∴f'(x)=3ax2 2bx c

则△=(2b)2-4∙3a∙c=4(b2-3ac)

1.当△>0,即b2-3ac>0;

f'(x)有两个不同的根,即f(x)有两个极值点x1、x2(令x1<x2),则三次函数单调性的情况如下:

当a>0,f(x)在(-∞,x1),(x2, ∞)为单调递增,(x1,x2)为单调递减;

当a<0,f(x)在(-∞,x1),(x2, ∞)为单调递减,(x1,x2)为单调递增。

则f'(x)、f(x)大致图像分布如下:

图片


2.当△=0,即b2-3ac=0;

f’(x)只有一个根x0,无极值点,则三次函数单调性的情况如下:

当a>0,f(x)在r上为单调递增;

当a<0,f(x)在r上为单调递减。

则f’(x)、f(x)大致图像分布如下:

图片

备注:由上图表可知,f(x)为单调函数,且点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个拐点。拐点的定义:在数学上指改变曲线向上或向下方向的点,直观地说拐点是使切线穿越曲线的点(即曲线的凹凸分界点),另外拐点的二阶导数为零,而三阶导不为零。

3.△<0,即b2-3ac<0;

f’(x)无实根,无极值点,则三次函数单调性的情况如下:

当a>0,f(x)在r上为单调递增;

当a<0,f(x)在r上为单调递减。

则f’(x)、f(x)大致图像分布如下(无拐点):

图片


二、极值与最值 

由函数的图像可知,三次函数的极值与最值的情况如下:

①当△>0,即b2-3ac>0;函数有极值,且极大值和极小值点各1个,无最大值和最小值点。

②当△≤0时,即b2-3ac≤0;函数无极大值和极小值点,也无最大值和最小值点。


三、方程根的分布

对于讨论ax3 bx2 cx d=0的根的分布情况,在研究函数的图像部分可知,f' (x)的判别式△对f(x)的极值点的个数有影响。

1.当△>0时,即b2-3ac>0;

此时f(x)有两个极值点x1,x2

(1)当f(x1)∙f(x2)>0时,此时方程只有1个根(函数图像与x轴只有1个交点),具体如下图所示:

图片

(2)当f(x1)∙f(x2)=0时,此时方程有2个根(函数图像与x轴有2个交点),具体如下图所示:

图片

(3) 当f(x1)∙f(x2)<0时,此时方程有3个根(函数图像与x轴有3个交点),具体如下图所示:

图片

2.当△≤0时,即b2-3ac≤0;

由函数的单调性可知,此时f(x)恒为单调函数,只与x轴有一个交点,即方程只有一个根。

综上可知,三次方程最少有一个根,最多有三个根。


四、三次方程韦达定理

设三次方程ax3 bx2 cx d=0(a≠0)的三个根分别为x1,x2,x3,则韦达定理为:

图片

图片

备注:如果三次方程只有1个或者2个根的情况,上述的韦达定理依然成立。另外在高考中对于三次方程的求解要求不是很高,求解的根值也相对简单,通常为整数,在求解过程中如果能够结合三次方程的韦达定理,那题目做起来就更得心应手了。


五、对称中心  

图片

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六、奇偶性  

对于函数f(x)= ax3 bx2 cx d(a≠0),只有当b=0且d=0时,f(x)为奇函数,否则f(x)无奇偶性。


七、函数切线 

如下图的表格汇总可知,过三次函数f(x)图像的对称中心做切线l,则坐标平面被函数f(x)和切线l的图像分割为四个区域,有如下结论:

(1). 过区域ⅰ , ⅳ的任意点作f(x)的切线,有且仅有3条;

(2). 过区域ⅱ ,ⅲ的任意点以及对称中心作f(x)的切线,有且仅有1条;

(3). 过切线l上或f(x)图像上的任意点(对称中心除外)作f(x)的切线,有且仅有2条。

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