等差幂线
一、等差幂线的定义和性质
等差幂线是一个定理，即两条直线垂直的一个充要条件，指pm⊥ab的充要条件是ap ²-am² =bp² -bm²。
二、证明
pm⊥ab的充要条件是ap ²-am ² =bp ² -bm ²。
证明：
必要性：
ap ² - an ² = pn ²；
am ² - an ² = mn ²．
以上两式相减得 ap ² - am ²=pn ² - mn ²①
同理， bp ² - bm ² = pn ² - mn ²．②
由式①、②得 ap ² - am ² = bp ² - bm ² ．
充分性：
设∠anp=α，则∠bnp=π-α．
故ap ² - am ²
= an ² pn ² - 2an·pn·cosα 2an·mn·cosα - an ² - mn ²
= pn ² - mn ² - 2an·pn·cosα 2an·mn·cosα．
bp ² - bm ²
= pn ² bn ² - 2pn·bn·cos(π - α) - mn - bn² 2mn·bn·cos(π - α)．
= pn ² - mn ² 2pn·bn·cosα - 2mn·bn·cosα．
于是 pn² - mn² - 2an·pn·cosα 2an·mn·cosα = pn² - mn² 2pn·bn·cosα - 2mn·bn·cosα，
即 2an·mn·cosα - 2an·pn·cosα = 2pn·bn·cosα - 2mn·bn·cosα，
即 mn(an bn)cosα= pn(an bn)cosα．
从而，(pn - mn) cosα=0，即pm cosα=0．
因此，cosα=0．
又因为0 ＜ α ＜ π，所以α= π/2．
故pm⊥ab．
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