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英才学习-阿江5个月前 (04-28)向量532

有关向量的数量三重积(混合积)

一、定义

数量三重积(scalar triple product)亦称混合积,三个向量的一种乘法运算的结果。对于空间的三个向量a,b,c,数量(a×b)·c称为向量a,b,c的数量三重积。

几何上,混合积的绝对值表示以a,b,c为棱的平行六面体的体积。若在平行六面体的同一顶点上的三条棱之间规定好一个顺序(a,b,c),则称这个平行六面体的定向为(a,b,c),于是混合积(a×b)·c称为这个定向平行六面体的有向体积。(a×b)·c>0时成右手系,(a×b)·c<0时成左手系.(a×b)·c=0时,三个向量a,b,c共面。


已知a、b、c三个向量,则a×b=d为一个向量,因此(a×b)·c=d·c是一个数量,于是有

定义 两个向量先矢乘,再与另一向量数乘,所得的结果称为数量三重积或者混合积。


二、混合积有下列公式:

1.轮换混合积的三个因子,混合积的值不变;交换任何两个因子,混合积变号。

2.(a×b)·c=a·(b×c)。因此a,b,c的混合积亦记为(abc)或(a,b,c)。

3.(a×b)·(c×d)=[(a×b)×c]·d=混合积.svg(拉格朗日公式),特别地,(a×b)²=a²b²-(a·b)²。


4.(a×b,b×c,c×a)= (a b c)2=混合积.svg



三、相关定理、推论

定理1:当三个非零向量a、b、c成右手系时,则数量三重积(a×b)c为正,否则为负。又此乘积的绝对值是以a、b、c为棱所构成的平行六面体的体积 [2]。

推论1 (a, a, c)=0. 

这是因为a×a=0。

推论2(a,b,c)=-(b,a, c). 

这是因为a×b=-(b×a).

推论3 (a a', b, c)=(a,b,c) (a', b, c). 

证明(a a',b, c)=[(a a')×b]c

=(a×b a'×b)c

=(a×b)c (a'×b)c:

=(a, b, c) (a', b, c).

推论4 (ma, b, c)=m(a, b, c).

证明 (ma, b, c)= (maxb)c= [m(a×b)]c

=m[(a×b)c]=m(a, b, c).

定理2:三个向量中如果有一个为零,或者两个共线,或者三个共面,则其数量三重积必是零,反过来也成立。

定理3:假定三个非零向量中没有两个共线,则共面的充要条件是其数量三重积为零 [2]。




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