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英才学习-阿江7个月前 (03-25)不等式451

对于实数a,b,且a̸=b,定义为a,b的指数平均数,则.

证明

先证指数平均不等式的右边,如下:

不妨设a>b,即a-b>0,ea-eb>0,要证不等式的右边,即证a-b>,则证换元,令a-b=t>0,所以需证构造函数即证f(x)> 0.求导得即f(x)为(0, ∞)上的增函数,则f(x)>f(0)=0,不等式右边得证,


同理可证不等式左边.

综上述所,指数平均不等式链得证.


上述指数平均不等式有着优美的几何意义,即“无字证明”,如下:

图1

图2

如图1,曲边梯形面积大于直角边梯形面积,即s曲梯 > s直梯,所以,即ea-eb故不等式左边得证;

如图2,直角边梯形面积大于曲边梯形面积,即s曲梯 < s直梯,所以,即ea-eb,则,故不等式右边得证.

综上述所,指数平均不等式链得证.



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