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英才学习-阿江7个月前 (03-20)数列445

不动点是数学术语解释是被这个函数映射到自身的一个点,即对于函数f(x),若存在实数x0,使得f(x0)=x0,则称x=x0是函数的不动点,用几何解释就是函数y=f(x)与y=x交点的横坐标,若不动点与数列结合,我们都知道可用不动点法求解数列的通项公式,但是原理是什么,先看以下三道常规的数列题目:

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注意通过待定系数法求得的a值,若用不动点法,令x=2x 1,解的x=-1,将数列an的通项公式看作函数,图像如下:

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这里面有两点需要注意,第一是不动点和用待定系数求得的a是什么关系,因为不动点是-1,所以在原来的等式两侧都减去不动点-1,即an 1-(-1)=2an 1-(-1),即可得到等比数列的形式,也就是说不动点可以这样用吗?可以推广到其他形式的递推公式里面吗?第二不动点-1恰好是把数列当作函数的极限值,这好像也能解释为什么叫不动点了,当x变化时y值不再变化,另外若函数是一个常函数,数列是一个常数列,也满足要求,如果在数列{an}中,a1的值恰好等于不动点x0,有如下递推形式,

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再看一道题目:

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这道题目恰好验证了上面的两点,那么其他题目能不能求出不动点,然后等式两侧都减去不动点,若不动点有两个怎么办?

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可看出做法和上面一样,只不过用了两次而已,同样把数列当作函数,看看1和2是不是函数的极限值:

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如果两个不动点相同呢?如下题:

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从以上题目能推广出不动点法求解通项公式的一般思路了,如果是前中后三项的递推公式用特征根方程即可,即便是待定系数也很简单,不再给出。

最后再复盘一下一开始的浙江高考题目:

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令x=x b,即x-x b=0,△=1-4b,△≥0,则b≤1/4,满足要求的只有b,c,d选项了,以b为例,x-x 1/4=0,解得x0=1/2,因为a1=a可任意取值,则取a1=x0=1/2,可知an中的任何一项都为1/2,同理c,d都可以根据不动点排除掉,剩余的选项就是a了

总结:不动点法求通项公式有局限性,也有其独特的优势,全国卷的考生多了解一些没坏处。


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