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英才学习-阿江1年前 (2023-09-21)圆锥曲线551

圆锥曲线的光学性质

圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质,因而为正确理解与掌握其光学性质,就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。

1.抛物线的切线、法线性质

经过抛物线image018.gif上一点作一条直线平行于抛物线的轴,那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。如图1image020.gif中。

1.jpg

证明如下:

111.jpg


抛物线的这个性质的光学意义是:“从焦点发出的光线,经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴”。


光学性质在生产和科学技术上有着广泛地应用。这里仅举例说明这些光学性质在解圆锥曲线的有关问题中的应用。

应用圆锥曲线光学性质解题,特别是切线问题是十分方便的。其间要注意一个基本关系式的应用,即“过投射点的曲线的切线与入射线、反射线成等角”。如图4,mn切曲线c于点p,则∠apm=∠bpn。这是很容易由物理学的“入射角等于反射角”及平面几何中“等角的余角相等来证明的。

image067.jpg


2.椭圆的切线、法线性质

经过椭圆上一点的法线,平分这一点的两条焦点半径的夹角。如图2中image020.gif

2.jpg

证明也不难,分别求出image062.gif,然后用到角公式即可获证。


椭圆的这个性质的光学意义是:“从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线交于椭圆的另一个焦点上”。


3.双曲线的切线、法线性质

经过双曲线上一点的切线,平分这一点的两条焦点半径的夹角,如图3中image020.gif

33.jpg

双曲线的切线性质,仍可利用到角公式获证。

双曲线的这个性质的光学意义是:“从双曲线的一个焦点发出的光线,经过双曲线反射后,反射光线是散开的,它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。




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